怎么判别矩阵合同（怎么判别矩阵合同）

1. 如何判断矩阵合同
2. 矩阵ab合同的定义

如何判断矩阵合同

① 如果合同中涉及两个或多个变量，且这些变量之间存在着某种关联，则可以判断该合同具有矩阵合同的特征。

② 如果合同中有多个变量之间存在着矩阵运算，如矩阵乘法，矩阵加法，矩阵减法等，那么也可以判断为一种矩阵合同

1、设A，B均为复数域上的n阶对称矩阵，则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同。

2、设A，B均为实数域上的n阶对称矩阵，则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负特征值的个数相等）。

合同”是矩阵之间的一种关系.两个n阶方阵A与B叫做合同的,是说存在一个满秩n阶方阵P,使得P′AP＝B.“合同”这种关系,是一种“等价关系”.按照它可以对n阶方阵的全体进行分类.对于n阶实对称矩阵而言,线性代数中有两个结果.

①每个n阶实对称矩阵,都一定与实对角矩阵合同,并且此时P也是实的.

②对于一个n阶实对称矩阵A,与它合同的实对角矩阵当然不只一个,（相应的P也变化）.但是这些实对角矩阵的对角元中,正数的个数是一定的（叫A的正惯性指数）,负数的个数也是一定的（叫A的负惯性指数）.结果②就是“惯性定理”.

判断矩阵合同要两个矩阵合同的条件是特征值的正负惯性指数相同（即特征值正负个数相同），所以实对称矩阵相似必然合同。

1、对于n阶实对称矩阵A, 若其前n-1阶顺序主子式都非零, 那么A可以用Gauss消去法分解成A=LDL^T的形式得k阶顺序主子式可以从D的前k个对角元得到, 这就是判断惯性指数的原理

如果前n-1阶顺序主子式中出现0, 那么上述方法会失效, 一般可以做适当排序之后做上述分解并允许D含有2阶对角块， 



设M是n阶实系数对称矩阵，

如果对任何一非零实向量X，都使二次型f(X)=

X′MX>0，则称f(X)为正定二次型，f(X)的矩阵M称为正定矩阵。一种实对称矩阵。正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(=A′)称为正定矩阵。

判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。

矩阵ab合同的定义

合同矩阵：设A,B是两个n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得

则称方阵A与B合同，记作 A≃B。

一般在线代问题中，研究合同矩阵的场景是在二次型中。二次型用的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知，合同矩阵等秩。

合同矩阵：两个实对称矩阵A和B，如存在可逆矩阵P，使得，就称矩阵A和B互为合同矩阵，并且称由A到B的变换叫合同变换。在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。

两个实对称矩阵A和B是合同的，当且仅当存在一个可逆矩阵P，使得对于二次型的矩阵表示来说，做一次非退化的线性替换相当于将二次型的矩阵变为一个与其合同的矩阵。 1855 年，埃米特(C。

Hermite,1822-1901) 证明了其他数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来 ，克莱伯施(A。Clebsch,1831-1872) 、布克海姆(A。

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